SOLUCIÓN GEOMETRÍA I

Ejercicio 1:

En el primero de los ejercicios se nos pide que comprobemos si tres vectores forman una base, para ello, debemos comprobar si son linealmente dependientes o independientes, solo serán una base este último caso. Esto lo comprobaremos realizando un estudio del rango. En caso de que el rango sea 3, los vectores serán linealmente independientes.

En este ejercicio también se nos pide que pongamos un vector en función en caso de obtener que los tres anteriores son una base.

Ejercicio 1:

Ejercicio 2:

En este ejercicio se nos pide que normalicemos una serie de vectores y que hallemos el ángulo entres estos vectores dos a dos.

Utilizaremos el producto escalar para calcular el ángulo:

Ejercicio 2:

Representación de los vectores normalizados:

Representación de los vectores:

Ángulo de w y v:

Ángulo entre u y v:

Ángulo u y w:

Ejercicio 3:
Nos pide que determinemos la ecuación de un plano que cumple:

• Es paralelo a otro de ecuación π: 2x-y+3z=2.
• Pasa por:
• a) A=(0,1,1).
• b) B=(-2,-5,1).

Para realizar la ecuación implícita del plano necesitamos su vector normal que será el mismo que el de π ya que estos son paralelos y un punto que dependerá del apartado del ejercicio (A o B).

Ejercicio 3:

Representación del plano que pasa por A(vemos que este punto pertenece al plano):

Representación del plano que pasa por B y es paralelo a π:

Ejercicio 4:

En el cuarto ejercicio se nos pide determinar la ecuación de un plano que cumple:

a)

• Es perpendicular a la recta r.
• Pasa por:
• A=(-3,1,-1)

Para hallar la ecuación del plano (π) necesitamos:

• Su vector normal que será el director de la recta puesto que esta es perpendicular al plano pedido.
• Un punto→A.

A partir de estos datos sacamos la ecuación implícita del plano.

b)

• Es paralelo a r.
• Pasa por:
•  B=(1,-3,4)

Para hallar la ecuación del plano necesitamos:

• Su vector normal el cual será el vector ortonormal del vector director de r.
• Un punto → B.

A partir de estos datos obtenemos la ecuación implícita o general del plano pedido.

Ejercicio 4:

Ejercicio 5:

En este ejercicio se nos pide que calculemos el ángulo entre algunos elementos del plano. Para ello emplearemos el producto escalar de dos vectores.

a) Entre dos vectores.

Aplicamos el producto escalar.

b)Entre dos rectas.

Debemos:

1. Sacar el vector director de sus ecuaciones.
2. Aplicando el producto vectorial obtenemos el ángulo que puede no ser el pedido sino el suplementario y por tanto debemos restarle a este 180 para obtener el ángulo pedido, solo en caso de que el ángulo obtenido sea obtuso.

c)Entre planos.

Debemos:

1. Sacar el vector director de sus ecuaciones.
2. Aplicando el producto escalar obtener el ángulo que no es el pedido, sino que a este debemos:
1. a) Si el ángulo obtenido es agudo, restar 90- α.
2. b) Si el ángulo obtenido es obstuso, restar α -90.

Ejercicio 5:

Representación del ángulo que forman dos vectores:

Ejercicio 6:

Se nos pide determinar la posición de tres planos y que analicemos su posición 2a2.

Para ello, estudiaremos el rango por Gauss.

Posibles resultados:

• Compatibles:
• Rg(A)=1=Rg(A*)→Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema compatible indeterminado. n=3,r=1; n-r=2, nos define un plano, por lo que, podemos determinar que son planos coincidentes.
• Rg(A)=2=Rg(A*)→ Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema compatible indeterminado. n=3,r=2; n-r=1, un parámetro da lugar a una recta, por ello, son secantes. Hay dos posibles posiciones que podemos determinar estudiando su posición dos a dos.
• Rg(A)=3=Rg(A*)→ Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema compatible determinado. n=3,r=3; n-r=0, si no hay parámetros los planos se cortan en un punto.
• Incompatibles:
• Rg(A)=1≠Rg(A*)=2→Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema incompatible. Los planos son:
• Paralelos entre ellos.
• Dos de ellos son paralelos y el tercero es coincidente.
• Rg(A)=2≠Rg(A*)=3→Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema incompatible. Los planos son:
• Forma de A.
• Forma de B.

Para saber ante qué caso estamos dentro de cada apartado debemos estudiar su posición dos a dos.

Ejercicio 6:

Ejercicio 7:

En el séptimo ejercicio nos pide que hallemos la posición relativa de dos rectas.

Para para hallar esta posición relativa estudiaremos el rango del sistema que forman las ecuaciones de las rectas usando Gauss. Primero debemos conocer los posibles casos:

• Compatible:
• Rg(A)=2=Rg(A*)→ Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema compatible indeterminado. n=3,r=2; n-r=1, un parámetro da lugar a una recta, por ello, son coincidentes.
• Rg(A)=3=Rg(A*)→ Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema compatible determinado. n=3,r=3; n-r=0, son secantes y se cortan en un punto.
• Incompatible:
• Rg(A)=2≠Rg(A*)=3→Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema incompatible.Las rectas son paralelas.
• Rg(A)=3≠Rg(A*)=4→Según el Teorema de Rouché-Fröbenius, sistema incompatible. Las rectas se cruzan, no se cortan.

Ejercicio 7:

Ejercicio 8:

El último ejercicio nos pide que hallemos el ángulo de las rectas del ejercicio 7.

Para ello, debemos:

1. Sacar el vector director de ambas.
2. Aplicar el producto vectorial para obtener el ángulo que puede no ser el pedido sino el suplementario y, por tanto, debemos restarle a este 180 para obtener el ángulo pedido, solo en caso de que el ángulo obtenido sea obtuso.

Ejercicio 8: